ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} = f | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + y^3(1 + \log_e x)$ છે.તેને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = (1 + \log_e x)y^3$ મળે.$y^

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{x^2}{5 - 2x^3(2 + \log_e x^3)}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + y^3(1 + \log_e x)$ છે.તેને ફરીથી ગોઠવતા,$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = (1 + \log_e x)y^3$ મળે.$y^3$ વડે ભાગતા: $y^{-3}\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y^{-2} = 1 + \log_e x$.ધારો કે $t = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$. તો $\frac{dt}{dx} = -2y^{-3}\frac{dy}{dx}$,તેથી $y^{-3}\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}\frac{dt}{dx}$.સમીકરણમાં મૂકતા: $-\frac{1}{2}\frac{dt}{dx} - \frac{1}{x}t = 1 + \log_e x$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{dt}{dx} + \frac{2}{x}t = -2(1 + \log_e x)$ થાય.સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2\log_e x} = x^2$.ઉકેલ $t \cdot x^2 = \int -2(1 + \log_e x)x^2 dx$ છે.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x^2(1 + \log_e x) dx = \frac{x^3}{3}(1 + \log_e x) - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3}(1 + \log_e x) - \frac{x^3}{9}$.તેથી,$\frac{x^2}{y^2} = -2[\frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{3}\log_e x - \frac{x^3}{9}] + C = -2[\frac{2x^3}{9} + \frac{x^3}{3}\log_e x] + C = -\frac{4x^3}{9} - \frac{2x^3}{3}\log_e x + C$.$y(1) = 3$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{9} = -\frac{4}{9} - 0 + C \Rightarrow C = \frac{5}{9}$.આમ,$\frac{x^2}{y^2} = \frac{5 - 4x^3 - 6x^3\log_e x}{9} = \frac{5 - 2x^3(2 + 3\log_e x)}{9} = \frac{5 - 2x^3(2 + \log_e x^3)}{9}$.તેથી,$\frac{y^2}{9} = \frac{x^2}{5 - 2x^3(2 + \log_e x^3)}$.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}(1 + xy^2(1 + \log_e x))$ નો ઉકેલ વક્ર છે,જ્યાં $x > 0$ અને $y(1) = 3$. તો $\frac{y^2(x)}{9}$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

$\sin y \cdot \frac{dy}{dx} = \cos y(1 - x \cos y)$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $y^2 dx + \left( x - \frac{1}{y} \right) dy = 0$ માટે,જો $y(1) = 1$ હોય,તો $x = $ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + y = \frac{1+y}{x}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1+\tan y)(dx-dy)+2x dy=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module